數學不好的心路歷程

世界上分為兩種人，一種是數學好的人，一種是數學不好的人。

如果你想知道數學不好的原理，請直接參考這一篇文章：

請參閱《數學不好是什麼原因》

本篇是心路歷程，因為對於數學不好的人，很多人的解釋是我們「邏輯不好」或「無法理解題目意涵」，到了高中「排列組合」的課程時，更是所有老師異口同聲地宣稱：「許多數學過去不太好的同學，這裡有可能重新洗牌！很有可能把排列組合學的很好哦！」

但結果還是不如人意，幾乎數學真的不好的人，會一直不好。

迷思一：「邏輯不好的人就學不好數學？」

許多律師、作家、管理決策者都是數學不好的人，但是你能說他們沒有邏輯概念嗎？他們的組織能力常常還超越一般人，而且能做出非常龐大複雜的聯想思考。

迷思二：大家說「數學不好的人是因為無法理解題目」？

同上，難道連法律條文、古文、新詩散文都能運用自如的人會看不懂題目？應該是相反吧，一般人就算數學再好，也無法隨便看到一句古文就能馬上理解，說不定連成語都會難倒他們。

迷思三：大家說「數學不好的同學是練習太少」？

已有證據說明，不論這些數學不好的同學算再多題目，也比不上數學普通的其他人的解題能力，常見的狀況是：每當努力想要算很多題目，但卻總是卡在第一題，然後就一直卡住了。

其實數學不好的人有一個關鍵原因，就是：思考方式不同！

請注意，思考方式跟邏輯無關！而跟想像力的運用有關！

以最簡單的邏輯數學題目為例：

五支電線桿，在間隔種樹，請問可以種幾棵？

如果頭尾也都種可種幾棵？

數學好的人思考是：5 – 1= 4（顆）

數學不好的人思考：「五支電線桿，要間隔種，那就是兩支間會有一棵，那五支電線桿要分成幾個兩支呢？應該是 2 + 2 + 1，應該有算三組吧？不過彼此都相連在一起，所以是不是要哪裡把它加上去？」（思考很久～）

只要你在校的數學程度可以用「普通」 來形容，你一定會覺得：「太誇張了吧！哪有這麼難啊！」

是的，所以這種時候，數學不好的人會在紙上「畫」五根線條，然後再去算中間有幾個間隔，而發現剛好就是四根，所以猜測應該就是：「總數 – 1 吧？」

頭尾都要種樹呢？

數學好的人思考：5 + 1 = 6（顆）

數學不好的思考：「頭尾？總數跟頭尾？前面加上一棵，後面加上一棵，那應該是什麼呢？應該是剛剛那個題目再加上2吧？到底是不是啊？」

最後沒辦法，只好拿筆在紙上再畫一次，但結果常常還是算錯。

所謂「想像力的運用」，是說對數學好的人而言，那些數字、符號、公式在他們的腦中是有「代號性的意義」，就像你看到紅燈要停止、看到綠燈要往前那樣自然聯想。

你任何時間只要看到紅燈，不論是停車場出口、平交道、救護車上方，你都能直覺反應要停一下注意，或左右張望吧？這已經是你腦海中的啟動代號，不用去思考就能有下一步動作。

但對於數學不好的人來說，數字、符號、公式都只是「純符號」，更正確的說是一個「還未有明確說明的符號」，因此有無數種詮釋方式！

比方對他們來說，要去理解《等差級數》的公式，看到課本寫：

第n項數字，就是 = 第1項 + (n-1) x 公差

他們會想：「第三十個項目，就是第一項，然後還要最後一項，嗯…，中間不是用加起來的，而公差是每個的差距，所以應該是要從第一項開始加公差，可是要加幾次呢？因為剛剛的種樹題目好像有一種是要減1，一種是要加2，所以這裡會是什麼呢？」

想到這裡又卡住，再拿出紙筆開始任意寫出1、3、5、7，然後開始想：「公差到底怎麼使用，再看到公式，寫著 (n-1) x 公差，所以應該是剛剛種樹的那種感覺吧，是要減1的，可是其他時候要減多少呢？而為什麼又要減1呢？」

「算了，趕快把公式抄起來，等等考試就套用就對了。」

看到這裡，請問你有一點點理解了嗎？

對於數學好的人，公式裡的方法都是很輕易能夠理解的，他們腦海中有很多公式，只要看到題目，就能馬上抽取過來使用，不論要算排列組合、圓錐曲線、幾何距離，都像是看到紅綠燈那樣簡單，差別只在於：

難一點的題目就像是考駕照需要背比較多燈號罷了！

但數學不好的人，從一開始到最後，自己腦中的思維都是複雜化的。

當他們看到數學題目：雞兔同籠，已知共有20頭，腳共有66隻，請問雞和兔子各有幾隻？（注釋1）

就像看到以下文字：雨水的窗框軌跡球尖銳柿餅公車速食店，天下刀片使用白鴿掛號無法眾多，中午首長食物綜合不分，若電力勞累鋼琴後面鋼鐵？

真的是這樣！不論符號或算式甚至數字本身，對他們來說都是單一需要去重新詮釋的東西，如果沒有詮釋成功，則只有兩個結果：

1. 無法繼續往下算。

2. 因為自己亂想出某種推測而得到錯誤的答案。

數學不好的孩子很可憐，當學校上課時，聽老師教題目，每次從第一行看到第二行、第三行算式，都覺得非常的合理！超級順暢的！自己心裡面也覺得很開心，因為今天的課都聽的懂耶！

但是等到自己開始算就「無法重製那個過程」，也絕不會因為算十遍而有所改善，頂多是把解題式整個背下來！

這也是為什麼數學不好的人奮發圖強，考前猛K，隔天還能考個四、五十分甚至及格，但只要過一天你再重新考他，他就只剩下十分了，因為他都用死背的，而那十分還是他在考卷上把題目的內容全部「圖像化」後的結果！

你問他：一個方格棋盤上，第一格擺一粒米、第二格擺兩粒米、第三格擺四粒、第四格八粒，請問放滿64格需要幾粒？

他會真的開始一格一格「畫」！任何題目他都會從1開始代入，而請問升高中或大學需要「理解」多少公式？

至於數學好的人，即便到了中年，看到題目和公式，只要稍微回想一下，馬上又能連貫起來，這種人當了父母常常覺得自己小孩很混或一定是學校老師教不好，於是就送小孩去補習班，但即便找了全地球上最厲害的數學老師，結果還是一樣，不信的話坊間有許多《學好數學真容易》那類的書，你去買來教教你小孩，他頂多拿來當故事書看。

那些補習費，你不如買小說、漫畫書給他當禮物；那些補習時間不如讓他去培養興趣、或跟朋友去玩，千萬不要擔心數學不好會怎麼樣，不少律師、或補習班教法律的講師都是過去數學爛到不行的人，他們的月收入常常比一般父母年收入還高，而且，很快樂。

過去我以為，宇宙中說不定有另外一種數學模式，可以適用於數學不好的人，因為數學不好的人在其他方面並沒有任何不好啊！

但後來推測並不會有這樣的東西，因為「數學不是宇宙間共通的語言」，而是「宇宙間共通的一種思維」，所以不是這樣想事情的人，就不會這樣想事情。

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後記：

以前看班上功課好的同學沒事喜歡「演練題目」，老師也說要多「解題」，甚至連數學普通的同學都拿著課本反覆練習並跟我說：「課本的觀念就很夠了」！

我看著、我模仿了、我努力了，我試著去用最精緻、完整的方式整理公式和筆記，更曾在補習班老師很清楚的講解某一個題目後，回家算了兩次，把公式好好地理解了一番，想說從今天開始我要奮發圖強！要當個數學可以拿均標的好學生！

結果下一次補習的小考，一模一樣的題目，我看了超開心！心裡想：「果然！這就是上次教的那個公式沒錯！」馬上拿起筆準備下筆。

但是，那個公式是什麼呢？為什麼腦中一片空白？

我想了大概五分鐘，偷偷從書包翻出講義那一頁，瞄了第一行…

「啊，對！就是這個麻！！」我有印象看過這一行算式，然後開始寫了大約半行，然後就又卡住了…

最後，我偷偷把這一題抄完，後面放棄了，下課跑去買可樂喝，

那時，

心中的我，某個部分就此死去。

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注釋1：

原本這篇文章附的題目，經很多「數學比我好」的網友多次指正有問題，已超出我能彌補的範疇，我就不繼續更新題目了。

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補充：

後來我曾經詢問了一些數學好的人，比方求學時代中，數學成績在班上或學校裡前幾名，我問他們幾個問題，包括「你們看到題目是什麼感覺？」「你們數學為什麼會好？」「為什麼其他人不論補習或努力都無法變成這樣？」等等的問題，答案如下：

1. 你們看到題目是什麼感覺？

「這難倒我了 …….囧。」

「我就想公式，就像玩拼圖的想法，先理解問題要的答案是什麼，再來把他給你的線索列出，然後想出那些線索可套用的公式，基本上問題中要你給的答案，就決定了哪些公式，所以背公式很重要。」

「我就想要用什麼公式啊。」

這我聽了等於沒聽，他們完全是在講天語。

2. 你們數學為什麼會好？

「數學，感覺是用比較簡潔的文字在描述，定義比較清楚，文字對我來說感覺是比較模糊的語言，但是要通曉兩者，前提是推理，邏輯思考要先有。」

「這比較像哲學，因為每個人對文字和敍述的認知不同，以數學中立體面積來解釋點丶缐丶面，每個人看到的立體認知不同。」

「沒有為什麼啊。」

這對我來說沒聽到什麼能理解的答案。

3. 為什麼其他人不論補習或努力都無法變成這樣？

「就有點像學程式語言一樣，基礎要穩固，中間漏一段變成一知半懂，但是覺得學習語言就是慣用，常用講法，不用太在乎對錯，另外 感受，感覺都是比較模糊，很難具體形容的東西，用電腦的說法就是比較類比，數位的世界就是01，定義比較清楚。」

「不努力吧，決心不夠，潛意識沒有真的想要了解，而或者又是時間的問題，有的人一段路～要十分鐘，有的人五分鐘。」

「就像你會畫圖一樣啊，你會想到該畫什麼，但我就畫不出來啊。」

越聽越覺得這些人對於理解題目反而比較有問題。

4. 你為什麼喜歡數獨？為什麼好玩？為什麼要一直玩？

「就很有趣啊，要去猜他的答案。因為有很多組合啊，就像你玩電動一樣。因為每次都不一樣啊。」

這問題是我純粹好奇為什麼有人這麼喜歡玩數獨，跟數學好不好有沒有正相關我不驗證。

但可以發現，透過這些數學好的人的言談當中，並沒有得到什麼令網友信服的答案，因此下面留言還是有無數網友不斷想強調自己有什麼學習祕訣，但我想已經驗證，就算有什麼秘訣，也是給「數學腦」的人才能使用的。

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補充背景：

這篇文章是我學校畢業後才寫的，以前國中、高中都有補習，我很清楚數學開始變差的時候是在小學四年級教算盤的時候，上課時看到算盤的1+1、1+2的打法覺得很簡單，於是開始都沒聽課，等到考試時題目都是「幾萬加減幾萬」的類型，我才發現我不會用算盤打「進位」，於是只好手動計算，結果分數很不理想，從此數學就再也沒有好過了。

幾年後一位親戚又專程買了算盤和題目本來教我算盤，當時我記得我學會了加法，很高興的想說乘除法也指日可待了！不過並沒有發展到那一天。

國、高中的補習有一個很奇特但普遍的現象，就是上課時老師講解題目的時候，你一邊看一邊都完全理解，非常非常地順暢。

老師同一個題型應該會講解兩、三題，每次看每次都懂，然後回家會有相似的題目給大家算，下次上課前先小考或講解作業答案。

但在回家算的時候總是會完全忘記老師講的算法，即便有把白板上的公式全部抄下來，回家看還是不懂，後來只好開始寫「白話註解在旁邊」。

也就是其他同學可能是抄了六行的公式就得到答案，我自己上課卻要抄很多老師講的白話，想說，只要把老師講的話都抄下來，應該就能複製「上課聽老師講的那種順暢感」吧，但結果不如預期，一方面是抄不完，一方面是不可能這樣數學就會變好。

除了學校上課、補習、問一問班上功課好的人，我至少到高二前都沒放棄數學，原因是以前有「全才迷思」，覺得要當好學生，不能有哪一科「非常不好」。

雖然我數學不好，但不致於差到是全班最後一名的程度，所以覺得還是要想辦法扭轉劣勢，才能上前三志願。

後來看到班上有一個同學，居然在數學課時完全戴上耳塞來念國文史地，絲毫不管老師講任何東西，問了對方動機，對方說數學一科的分數可以用其他科目來彌補，同樣時間花在數學上，最後聯考得到的分數不超過5分，但花在任何其他文科上，最後加總其來有幾十分，要考上大學這才是關鍵。

於是我才拋開數學，但又不全拋開，還是繼續補習，希望拿到基本分。

上了大學念微積分、線性代數這些科目，終於讓我明白：「這應該是無法改變的事實吧」，看到全班同學聽助教高速地解題微積分，每個人都邊聽邊點頭，一題接一題，一個小時接一個小時。

都是超大本的原文課本、超小字的斜體公式，然後用英文說明，以前自己寫的白話註解都看不懂了，何況是數學用英文！

但！即使班上倒數前五名以內的同學都看的懂，這時真的會讓人感到很無助。

這篇文章是長大後回想的心得，而非勸說大家直接放棄數學。

後來我在大學中遇到的兩位老師都說自己數學不好，但在其他地方很努力，這兩位後來都變成補教界名師，也是法律、政治的「有錢人」，生活樂無邊，這裡跟大家分享其中一位老師的觀念：

「在哪裡跌倒，就在哪裡躺下。」（彭懷恩教授）

也就是在自己擅長的領域裡爭長短、盡情發揮，而不是執著於無法發揮的地方，跟自己鑽牛角尖，成就受限。

「輸在起跑點沒關係，要贏在終點。」（彭懷恩教授）

人生不是因為有上貴族小學、補很多習、念前三志願而讓人功成名就，而是你發揮所長、學你擅長的，最後在工作、人生、家庭得到開心的結果。

所以數學不好不是世界末日，而是一個轉機！

你要意識到自己在做什麼，做出選擇，然後自己負責。


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這個主題我寫了後篇，裡面我提出了一些數學思維的關鍵要素，請參閱：

《數學不好是什麼原因》